Non vorrei sbagliarmi ma....credo che devo "smentire" Picio (e m i scuso in anticipo se non dico castronerie).
Non è la sostituzione del trimmer che risolve il tuo problema.
L'LM317 in realtà è un regolatore di corrente e non di tensione. La sua caratteristica principale è che, tra il piedino ADJ ed il piedino OUT c'è sempre 1,25V (ovvero la tensione misurata da BlackJack).
Infatti quando il trimmer R2 è tutto girato verso la GND, la tensione all'uscita è quella tra OUT e GND, ovvero quella tra ADJ e GND, ovvero 1,25V.
Per avere una tensione più alta, quando si è al minimo del trimmer, credo sia necessario avere una resistenza tra il centrale del trimmer ed ADJ.
Diciamo che se vuoi una tensione Y devi fare:
R=((Y:1,25)-1)X R1
Detto ciò.... il consiglio tecnico sarebbe (non mio, ma di guide specifiche) che la R1 sia compresa tra 150 e 390 ohm. Il resto ...vien da se
Dimenticavo...altro considerazione, la tensione di ingresso "dovrebbe" essere almeno 1,2 volte la tensione MAX di uscita desiderata.
Questo vuol dire che per aver 12V dovresti alimentarlo a 14,4V, mentre, di contro, con 12V di alimentazione in uscita avrai max 10V.